方程 $\sqrt{x^2-\frac{1}{2}+1}+\sqrt{x^2-\frac{2}{3}x+1}=1+\frac{\sqrt{30}}{6}$ 在实数范围内的解集为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(18)
【标注】
【答案】
$\left\{\frac{13-2\sqrt{30}}{7}\right\}$
【解析】
原方程可化为$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2}+\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2}=1+\frac{\sqrt{30}}{6}.$$上式左边表示点 $P(x,0)$ 到点 $A\left(\frac{1}{4},-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)$ 和 $B\left(\frac{1}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ 的距离之和，可以算出
$|AB|=1+\frac{\sqrt{30}}{6}$．于是，点 $P$ 是直线 $AB$ 与 $x$ 轴的交点，则$$\frac{x-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{x-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}},$$解得 $x=\frac{13-2\sqrt{30}}{7}$．
$|AB|=1+\frac{\sqrt{30}}{6}$．于是，点 $P$ 是直线 $AB$ 与 $x$ 轴的交点，则$$\frac{x-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{x-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}},$$解得 $x=\frac{13-2\sqrt{30}}{7}$．
题目
答案
解析
备注
