已知圆 $\Gamma: (x-6)^2+y^2=9$，点 $M$ 的坐标为 $(2,4)$．过点 $N(4,0)$ 作直线 $l$ 交圆 $\Gamma$ 于 $A,B$ 两点，则 $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(18)
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
设圆 $\Gamma$ 的圆心为 $C$，则 $C$ 的坐标为 $(6,0)$．设 $AB$ 的中点为 $P(x,y)$，则由 $CP\perp AB$ 可知，点 $P$ 的轨迹是以 $CN$ 的中点 $Q(5,0)$ 为圆心，$CN$ 为直径的圆，即点 $P$ 的轨迹方程为 $(x-5)^2+y^2=1$，从而，$$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|_{min}=2|\overrightarrow{MP}|_{min}=2\left(\overrightarrow{MQ}-1\right)=2(5-1)=8.$$
题目
答案
解析
备注
