若函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x+\cos \omega x$（$\omega>0$）在区间 $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right]$ 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 $\omega$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(19)
【标注】
【答案】
$[\frac{8}{3},4)$
【解析】
易知 $f(x)=2\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$（$x\in\mathbb{R}$）．于是，函数 $f(x)$ 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 $[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$ 上，当且仅当 $y=2\sin t$ 恰有一个最大值点和一个最小值点在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}\right]$ 上．注意到 $\omega<0$，故这等价于$$\left\{\begin{aligned}
&-\frac{3\pi}{2}<-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6}\leqslant -\frac{\pi}{2}\\
&\frac{\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}<\frac{3\pi}{2}\\
\end{aligned}\Leftrightarrow \frac{8}{3}\leqslant \omega<4.
\right.$$因此，$\omega$ 的取值范围是 $[\frac{8}{3},4)$．
&-\frac{3\pi}{2}<-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{6}\leqslant -\frac{\pi}{2}\\
&\frac{\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{6}<\frac{3\pi}{2}\\
\end{aligned}\Leftrightarrow \frac{8}{3}\leqslant \omega<4.
\right.$$因此，$\omega$ 的取值范围是 $[\frac{8}{3},4)$．
题目
答案
解析
备注
