若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）上横坐标为 $\frac{3}{2}a$ 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(19)
【标注】
【答案】
$(2,+\infty)$
【解析】
设 $F_1,F_2$ 分别为双曲线的左，右焦点，则$$\begin{aligned}
&|PF_2|>\frac{3a}{2}+\frac{a^2}{c}\Rightarrow e\left(\frac{3a}{2}-\frac{a^2}{c}\right)>\frac{3a}{2}+\frac{a^2}{c}\\
&\Rightarrow e\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{e}\right)>\frac{3}{2}+\frac{1}{e}\\
&e>2.\\
\end{aligned}$$
&|PF_2|>\frac{3a}{2}+\frac{a^2}{c}\Rightarrow e\left(\frac{3a}{2}-\frac{a^2}{c}\right)>\frac{3a}{2}+\frac{a^2}{c}\\
&\Rightarrow e\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{e}\right)>\frac{3}{2}+\frac{1}{e}\\
&e>2.\\
\end{aligned}$$
题目
答案
解析
备注
