设函数 $f(x)=x^2+ax+b\cos x$．若 $\{x\in\mathbb{R}~|~f(x)=0\}=\{x\in\mathbb{R} ~|~f(f(x))=0\}\neq \emptyset$，则这样的实数对 $(a,b)$ 的集合是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(19)
【标注】
【答案】
$\{(a,b)~|~0\leqslant a<4,b=0\}$
【解析】
设 $x_0\in\{x\in\mathbb{R}~|~f(x)=0\}$，则 $b=f(0)=f(f(x_0))=0$．于是，$f(x) =x(x+a), f(f(x))=f(x)(f(x)+a)=x(x+a)(x^2+ax+a)$．
显然，$a=0$ 满足题意．
若 $a\neq 0$，由于 $x^2+ax+a=0$ 的根不可能是 $0$ 或 $-a$，所以 $x^2+ax+a=0$ 没有实根，则$$\triangle =a^2-4a<0\Leftrightarrow 0<a<4.$$
显然，$a=0$ 满足题意．
若 $a\neq 0$，由于 $x^2+ax+a=0$ 的根不可能是 $0$ 或 $-a$，所以 $x^2+ax+a=0$ 没有实根，则$$\triangle =a^2-4a<0\Leftrightarrow 0<a<4.$$
题目
答案
解析
备注
