由于编号最大的两数之和为 $18+17=35<36$，所以同一张球台上两选手编号之和只能取 $3$ 个平方数：$25,16,9$．现设同一张球台上两选手编号和为 $25,16,9$ 的分别有 $x,y,z$（$x,y,z$ 均为非负整数）个．依题意有$$\left\{\begin{aligned}
&25x+16x+9z=1+2+\ldots+18,\\
&x+y+z=9,\\
&x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0.\\
\end{aligned}\right.$$即$$\left\{\begin{aligned}
&16x+7y+9(x+y+z)=171,\\
&x+y+z=9,\\
&x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0.\\
\end{aligned}\right.$$得$$\left\{\begin{aligned}
&16x+7y=90,\\
&x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0.\\
\end{aligned}\right.$$又由 $0\leqslant x\leqslant \frac{90}{16}<6$，知 $x$ 只能取非负整数 $0,1,2,3,4,5,$，逐一代入检验，可得方程唯一的非负整数解 $x=3,y=6, z=0$．
下面讨论 $9$ 张球台上的选手对阵情况．
（1）由 $x=3$，知平方数为 $25$ 只能有 $3$ 个，而编号不小于 $16$ 的 $3$ 个选手 $18, 17, 16$ 对应的平方数又只能为 $25$，故两选手编号和为 $25$ 的只能是：$18$ 与 $7$ 对阵，$17$ 与 $8$ 对阵，$16$ 与 $9$ 对阵．
（2）由 $y=6$，知去掉 $18,17,16,9,8,7$ 后剩下的 $12$ 个选手对应的平方数能且只能为 $16$，有：$1$ 与 $15$ 对阵，$2$ 与 $14$ 对阵，$3$ 与 $13$ 对阵，$4$ 与 $12$ 对阵，$5$ 与 $11$ 对阵，$6$ 与 $10$ 对阵．
所以规定能够实现，且实现方案是唯一的．$9$ 张球台上选手对阵情况为$$(18,7),(17,8),(16,9),(15,1),(14,2),(13,3),(12,4),(11,5),(10,6).$$所以 $7$ 号选手与 $18$ 号选后比赛是必然事件，其概率为 $1$．