已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=2a_n+\frac{n^3-2n-2}{n^2+n}$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．则 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(20)
【标注】
【答案】
$2^{n-1}-\frac{n^2-1}{n}$
【解析】
由题设知$$a_{n+1}+\frac{n(n+2)}{n+1}=2\left(a_n+\frac{(n+1)(n-1)}{n}\right).$$令 $b_n=a_n+\frac{(n+1)(n-1)}{n}$，则 $b_1=1$．故 $\{b_n\}$ 是以 $1$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列．因此，$b_n=2^{n-1}$．故$$a_n=2^{n-1}-\frac{n^2-1}{n}.$$
题目
答案
解析
备注
