设曲线 $x^2-my^2=1$ 的焦点为 $F_1,F_2$，准线 $l_1,l_2$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $K_1,K_2$．若这 $4$ 个点在 $x$ 轴上等距排列，则 $m=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(20)
【标注】
【答案】
$\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{3}{2}$
【解析】
当 $m>0$ 时，曲线为双曲线．根据题意，得 $2c = 3\times 2\frac{a^2}{c}$，即 $c^2= 3a^2$，又 $a^2=1$，则 $c^2= 3$，于是 $1+\frac{1}{m}=3$，解得 $m =\frac{1}{2}$．这里，$a$ 和 $c$ 分别表示双曲线的半实轴长与半焦距
当 $m<0$ 时，曲线为椭圆．根据题意，得 $2\frac{a^2}{c}= 3\times 2c$，即 $a^2=3c^2$，又 $a^2 = 1$，则 $c^2=\frac{1}{3}$．
于是 $1-\left(-\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{3}$，解得 $m= -\frac{3}{2}$．这里，$a$ 和 $c$ 分别表示椭圆的半长轴长与半焦距．
因此，$m=\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{3}{2}$．
当 $m<0$ 时，曲线为椭圆．根据题意，得 $2\frac{a^2}{c}= 3\times 2c$，即 $a^2=3c^2$，又 $a^2 = 1$，则 $c^2=\frac{1}{3}$．
于是 $1-\left(-\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{3}$，解得 $m= -\frac{3}{2}$．这里，$a$ 和 $c$ 分别表示椭圆的半长轴长与半焦距．
因此，$m=\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
