已知 $\theta\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$，一元二次方程 $(\tan^2\theta+\sec^2\theta)x^2+2(\tan^2\theta-\sin^2\theta)x-\cos 2\theta=0$ 有重根．则 $\cos\theta$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(20)
【标注】
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【解析】
由于方程有重根，故 $\triangle =0$，即$$(tan^2\theta-sin^2\theta)^2 + cos2\theta(tan^2\theta + sec^2\theta) = 0.$$设 $d = cos^2\theta$，则$$\left(\frac{1-d}{d}+d-1\right)^2+(2d-1)\left(\frac{1-d}{d}+\frac{1}{d}\right)=0.$$故$$(d^2-3d+1)^2=0.$$解得 $d=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$．由于 $\theta\in \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$，
故 $d<\frac{1}{2}$．因此，$\cos\theta=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故 $d<\frac{1}{2}$．因此，$\cos\theta=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
