设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左，右焦点，$P$ 为椭圆上一点，且满足 $\angle F_1PF_2=90^{\circ}$．若 $\triangle PF_1F_2$ 的面积为 $2$，则 $b$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(21)
【标注】
【答案】
$\sqrt{2}$
【解析】
设 $|PF_1| =m, |PF_2|= n$，则由条件可知$$\left\{\begin{aligned}
&m+n=2a\\ &m^2+n^2=4c^2=4(a^2-b^2),\\ &\frac{1}{2}mn=2.\\
\end{aligned}\right.$$由此可解得 $b^2= 2$，即 $b=\sqrt{2}$．
&m+n=2a\\ &m^2+n^2=4c^2=4(a^2-b^2),\\ &\frac{1}{2}mn=2.\\
\end{aligned}\right.$$由此可解得 $b^2= 2$，即 $b=\sqrt{2}$．
题目
答案
解析
备注
