设 $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面上一点，满足 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{AB}$．若 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，则 $\triangle PAB$ 的面积为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(21)
【标注】
【答案】
$\frac{1}{3}$
【解析】
任取平面上不同于 $P, A,B,C$ 的一点 $O$，则$$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP})=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}),$$即$$3(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\Rightarrow 3\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{CB}.$$这表明，$PA\varparallel BC, BC=3PA$．所以 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}$．
题目
答案
解析
备注
