函数 $f(x)=|x+1|+|ax+1|$ 的图像是一条折线，$f(x)$ 取到最小值是在折点处，即当 $x$ 满足 $x + 1 = 0$ 或 $ax+ 1 = 0$ 时，函数 $f(x)$ 才有可能取到最小值 $\frac{3}{2}$．
若 $a = 0$，有 $f(x) = |x+1|+1 \geqslant 1$，且等号当 $x =-1$ 时成立，故 $a = 0$ 不满足条件．以 下假设 $a\neq 0$．
若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取到最小值 $\frac{3}{2}$，则 $|-a+1|=\frac{3}{2}$，即 $a = -\frac{1}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$，此时有$$f(x)=|x+1|+\left|-\frac{1}{2}x+1\right|或f(x)=|x+1|+\left|\frac{5}{2}x+1\right|\geqslant \frac{3}{5},$$易知这两个函数的最小值分别是 $\frac{3}{2}$ 和 $\frac{3}{5}$．因此，$a=-\frac{1}{2}$ 满足条件．
若 $f(x)$ 在 $x=-\frac{1}{a}$ 处取到最小值 $\frac{3}{2}$ 则 $\left|-\frac{1}{a}+1\right|=\frac{3}{2}$，即 $a= -2$ 或 $\frac{2}{5}$，此时有$$f(x)=|x+1|+|-2x+1|\text{或}f(x)=|x+1|+\left|\frac{2}{5}x+1\right|.$$易知这两个函数的最小值分别是 $\frac{3}{2}$ 和 $\frac{3}{5}$．因此，$a=-2$ 满足条件．
综上所述，满足条件的实数 $a$ 共有 $2$ 个．