不等式$$-2<\sqrt{x^2-2x+4}-\sqrt{x^2-10x+28}<2$$的解集为 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(21)
【标注】
【答案】
$(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})$
【解析】
原不等式即为$$|\sqrt{(x-1)^2+3}-\sqrt{(x-5)^2+3}|<2.$$令 $3=y^2$，不等式可化为$$|\sqrt{(x-1)^2+y^2}-\sqrt{(x-5)^2+y^2}|<2.$$由双曲线的定义知，满足上述条件的点 $(x,y)$ 在双曲线 $(x-3)^2-\frac{y^2}{3}\leqslant 1$ 的两支之间的区 域内．因此，原不等式与不等式组$$\left\{\begin{aligned}
&(x-3)^2-\frac{y^2}{3}\leqslant 1\\
&y^2=3\\
\end{aligned}\right.$$同解．所以原不等式的解集为 $(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})$．
&(x-3)^2-\frac{y^2}{3}\leqslant 1\\
&y^2=3\\
\end{aligned}\right.$$同解．所以原不等式的解集为 $(3-\sqrt{2},3+\sqrt{2})$．
题目
答案
解析
备注
