正八面体有 $8$ 个面，$6$ 个顶点．甲随机选择其中 $3$ 个面的中心，乙随机选择其中的 $3$ 个顶点．那么，这两组点构成的两个三角形相似的概率是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(21)
【标注】
【答案】
$\frac{11}{35}$
【解析】
甲所选取的三个点构成的三角形共有 $C^3_8=56$ 个，可分为 $3$ 类：等腰直角三角形，直角 边比为 $1:\sqrt{2}$ 的直角三角形，正三角形．其中，等腰三角形有 $24$ 个，直角边比为 $1:\sqrt{2}$ 的 直角三角形有 $24$ 个，正三角形有 $8$ 个．
乙所选取的三个点构成的三角形共有 $C^3_6=20$ 个，可分为 $2$ 类：等腰直角三角形，正三 角形．其中，等腰直角三角形有 $12$ 个，正三角形有 $8$ 个．
因此，这两个三角形相似的概率为 $\frac{24}{56}\times \frac{12}{20}+\frac{8}{56}\times \frac{8}{20}=\frac{11}{35}$．
乙所选取的三个点构成的三角形共有 $C^3_6=20$ 个，可分为 $2$ 类：等腰直角三角形，正三 角形．其中，等腰直角三角形有 $12$ 个，正三角形有 $8$ 个．
因此，这两个三角形相似的概率为 $\frac{24}{56}\times \frac{12}{20}+\frac{8}{56}\times \frac{8}{20}=\frac{11}{35}$．
题目
答案
解析
备注
