已知 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 是夹角为 $30^{\circ}$ 是夹角为 $30^{\circ}$ 的单位向量，非零向量 $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$（$x,y\in\mathbb{R}$）．则 $\frac{|x|}{|\overrightarrow{a}|}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(22)
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
由条件可知$$\overrightarrow{a}^2=(x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2})^2=x^2+y^2+2xy\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=x^2+y^2+\sqrt{3}xy$$于是$$\frac{|x|}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2+\sqrt{3}xy}}.$$当 $x=0$ 时，有 $\frac{|x|}{|\overrightarrow{a}|}=0$．
当 $x\neq 0$ 时，有$$\frac{|x|}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^2+\sqrt{3}\frac{y}{x}+1}}=\frac{1}{\left(\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}\leqslant 2.$$等号当且仅当 $\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时成立，故 $\frac{|x|}{|\overrightarrow{a}|}$ 的最大值是 $2$．
当 $x\neq 0$ 时，有$$\frac{|x|}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{y}{x}\right)^2+\sqrt{3}\frac{y}{x}+1}}=\frac{1}{\left(\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}\leqslant 2.$$等号当且仅当 $\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时成立，故 $\frac{|x|}{|\overrightarrow{a}|}$ 的最大值是 $2$．
题目
答案
解析
备注
