若函数 $f(x)=\ln (e^x+1)$ 可以表示成一个奇函数 $f(x)$ 与一个偶函数 $h(x)$ 的和，则函数 $h(x)$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(22)
【标注】
【答案】
$\ln 2$
【解析】
由条件可知$$\left\{\begin{aligned}&f(x)=\ln (e^x+1)=g(x)+h(x),\\ &f(-x)=\ln(e^{-x}+1)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x).\\ \end{aligned}\right.$$两式相加，并由均值不等式得$$\begin{aligned} 2h(x)&=\ln (e^x+1)+\ln (e^{-x}+1)=\ln (2+e^x+e^{-x})\\
&\geqslant \ln (2+2)=2\ln 2.\\
\end{aligned}$$等号当且仅当 $x= 0$ 时成立，故 $h(x)$ 的最小值是 $\ln 2$．
&\geqslant \ln (2+2)=2\ln 2.\\
\end{aligned}$$等号当且仅当 $x= 0$ 时成立，故 $h(x)$ 的最小值是 $\ln 2$．
题目
答案
解析
备注
