若实数 $a,b$ 满足 $a^2+b^2=1$，则 $ab+\max\{a,b\}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(22)
【标注】
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
【解析】
不妨设 $a\leqslant b$，则 $f=ab + \max\{a,b\}= ab + b$．于是$$f^2=(a+1)^2b^2=(a+1)^2(1-a^2)=(a+1)^3(1-a)
\leqslant \frac{1}{3}\left(\frac{3(a+1)+3(1-a)}{4}\right)^4=\frac{27}{16}$$其中等号当 $a=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时取到．故所求最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
\leqslant \frac{1}{3}\left(\frac{3(a+1)+3(1-a)}{4}\right)^4=\frac{27}{16}$$其中等号当 $a=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时取到．故所求最大值为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
题目
答案
解析
备注
