如图所示，在边长为 $\sqrt{3}$ 的菱形中，$\angle DAB=60^{\circ}, \overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$，$F$ 为线段 $BC$ 的中点，$G$ 为线段 $EF$ 上一点．若存在实数 $t$，使得 $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}$，则 $|\overrightarrow{BG}|=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(23)
【标注】
【答案】
$\frac{111}{8}$
【解析】
（法一）设菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ 以为坐标原点建立如 图5所示的平面直角坐标系．则 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，故 $OG\varparallel AD$．易知 $A\left(-\frac{3}{2},0\right),B\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), C\left(\frac{3}{2},0\right), D\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right), E\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3}\right),F\left(\frac{3}{4},-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$．于是，$EF$ 的方程为 $y=-\frac{7\sqrt{3}}{3}x+\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$OG$ 的方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，联立解得 $G$ 的坐标为 $\left(\frac{9}{16},\frac{3\sqrt{3}}{16}\right)$．因此$$|\overrightarrow{BG}|=\sqrt{\left(\frac{9}{16}-0\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{16}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{111}}{8}.$$（法二）记 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$，则$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AG}=\left(t+\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.$$由 $E,G,F$ 三点共线，知存在实数 $A$，使得$$\left\{\begin{aligned}
&t+\frac{1}{2}=\lambda+\frac{1}{2}(1-\lambda),\\ &\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\lambda+1-\lambda\\ \end{aligned}\right.$$解得 $(t,\lambda)=\left(\frac{3}{8},\frac{3}{4}\right)$．于是，$\overrightarrow{AG}=\frac{7}{8}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$．因此$$\begin{aligned}
|\overrightarrow{BG}|&=\sqrt{(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB})}.\\
&=\sqrt{\left(\frac{7}{8}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\frac{7}{8}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)}\\
&=\sqrt{\frac{49}{64}a^2-\frac{7}{8}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}^2}\\
&=\sqrt{\frac{49}{64}\times 3-\frac{7}{8}\times \frac{3}{2}+\frac{1}{4}\times 3}=\frac{\sqrt{111}}{8}\\
\end{aligned}$$
$OG$ 的方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，联立解得 $G$ 的坐标为 $\left(\frac{9}{16},\frac{3\sqrt{3}}{16}\right)$．因此$$|\overrightarrow{BG}|=\sqrt{\left(\frac{9}{16}-0\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{16}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{111}}{8}.$$（法二）记 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$，则$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, \overrightarrow{AG}=\left(t+\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.$$由 $E,G,F$ 三点共线，知存在实数 $A$，使得$$\left\{\begin{aligned}
&t+\frac{1}{2}=\lambda+\frac{1}{2}(1-\lambda),\\ &\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\lambda+1-\lambda\\ \end{aligned}\right.$$解得 $(t,\lambda)=\left(\frac{3}{8},\frac{3}{4}\right)$．于是，$\overrightarrow{AG}=\frac{7}{8}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$．因此$$\begin{aligned}
|\overrightarrow{BG}|&=\sqrt{(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB})\cdot (\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB})}.\\
&=\sqrt{\left(\frac{7}{8}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\frac{7}{8}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)}\\
&=\sqrt{\frac{49}{64}a^2-\frac{7}{8}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}^2}\\
&=\sqrt{\frac{49}{64}\times 3-\frac{7}{8}\times \frac{3}{2}+\frac{1}{4}\times 3}=\frac{\sqrt{111}}{8}\\
\end{aligned}$$
题目
答案
解析
备注
