长度为定值 $m$ 的线段 $AB$ 的两个端点在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）上移动．若 $m>\frac{2b^2}{a}$，则 $AB$ 的中点 $M$ 的横坐标的最小值是 （用 $a,b,m$ 表示）．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(23)
【标注】
【答案】
$\frac{a(m+2a)}{2\sqrt{a^2+b^2}}$
【解析】
如图所示，设 $A,B,M$ 在双曲线右准线上的投影分别为 $A',B',M'$，双曲线的右焦 点为 $F$，离心率为 $e$．由双曲线的第二定义，有$$|MM'|=\frac{|AA'|+|BB'|}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{|AF|}{e}+\frac{|BF|}{e}\right)=\frac{1}{2e}(|AF|+|BF|)
\geqslant \frac{|AB|}{2e}=\frac{m}{2e}.$$设 $M$ 在 $y$ 轴上的投影为 $N$，则 $|MN|$ 即为点 $M$ 的横坐标．记 $c= \sqrt{a^2+b^2}$，则$$|MN|=|MM'|+|M'N|\geqslant \frac{m}{2e}+\frac{a^2}{c}=\frac{am}{2c}+\frac{a^2}{c}=\frac{a(m+2a)}{2\sqrt{a^2+b^2}}.$$其中等号当且仅当 $A,F,B$ 三点共线时成立．
\geqslant \frac{|AB|}{2e}=\frac{m}{2e}.$$设 $M$ 在 $y$ 轴上的投影为 $N$，则 $|MN|$ 即为点 $M$ 的横坐标．记 $c= \sqrt{a^2+b^2}$，则$$|MN|=|MM'|+|M'N|\geqslant \frac{m}{2e}+\frac{a^2}{c}=\frac{am}{2c}+\frac{a^2}{c}=\frac{a(m+2a)}{2\sqrt{a^2+b^2}}.$$其中等号当且仅当 $A,F,B$ 三点共线时成立．
题目
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