定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1, f(\frac{x}{5})=\frac{1}{2}f(x)$，且当 $0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$ 时，有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$．则 $f(\frac{1}{2018})=$ ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(23)
【标注】
【答案】
$\frac{1}{32}$
【解析】
令 $x=1$，得 $f(1)+f(0)=1, f(\frac{1}{5})=\frac{1}{2}f(1)$．结合 $f(0)=0$，得 $f(1)=1,
f(\frac{1}{5})=\frac{1}{2}$．
再令 $x=\frac{1}{5}$，得 $f(\frac{1}{5})+f(\frac{4}{5})=1$．从而，$f\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{2}$．
而当 $0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$ 时，恒有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$．所以当 $\frac{1}{5}\leqslant x\leqslant \frac{4}{5}$ 时，恒有 $f(x)=\frac{1}{2}$．
由 $f\left(\frac{x}{5}\right)=\frac{1}{2}f(x)$，得 $f(x)=\frac{1}{2}f(5x)$．故$$f\left(\frac{1}{2018}\right)=\frac{1}{2}f\left(\frac{5}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2f\left(\frac{5^2}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^3f\left(\frac{5^3}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}
\right)^4f\left(\frac{5^4}{2018}\right).$$因为 $\frac{1}{5}<\frac{5^4}{2018}<\frac{4}{5}$，所以$$f\left(\frac{1}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^4\times \frac{1}{2}=\frac{1}{32}.$$
f(\frac{1}{5})=\frac{1}{2}$．
再令 $x=\frac{1}{5}$，得 $f(\frac{1}{5})+f(\frac{4}{5})=1$．从而，$f\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{2}$．
而当 $0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1$ 时，恒有 $f(x_1)\leqslant f(x_2)$．所以当 $\frac{1}{5}\leqslant x\leqslant \frac{4}{5}$ 时，恒有 $f(x)=\frac{1}{2}$．
由 $f\left(\frac{x}{5}\right)=\frac{1}{2}f(x)$，得 $f(x)=\frac{1}{2}f(5x)$．故$$f\left(\frac{1}{2018}\right)=\frac{1}{2}f\left(\frac{5}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2f\left(\frac{5^2}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^3f\left(\frac{5^3}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}
\right)^4f\left(\frac{5^4}{2018}\right).$$因为 $\frac{1}{5}<\frac{5^4}{2018}<\frac{4}{5}$，所以$$f\left(\frac{1}{2018}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^4\times \frac{1}{2}=\frac{1}{32}.$$
题目
答案
解析
备注
