由题设知，$a_1=b_1=1, a_2=2b_1+1=3$，当 $n\geqslant 2$ 时，有$$a_{n+1}=2b_n+1=2(2a_{n-1}-1)+1=4a_{n-1}-1.$$于是$$a_{n+1}-\frac{1}{3}=4\left(a_{n-1}-\frac{1}{3}\right) (n\geqslant 2).$$从而，对正整数 $k$，有$$a_{2k}-\frac{1}{3}=4\left(a_2(k-1)-\frac{1}{3}\right)=\ldots=4^{k-1}\left(a_2-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\times 4^k,$$$$a_{2k-1}-\frac{1}{3}=4\left(a_{2(k-1)-1}-\frac{1}{3}\right)=\ldots=4^{k-1}\left(a_1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\times 4^{k-1},$$即$$a_{2k}=\frac{2}{3}\times 4^k+\frac{1}{3}, a_{2k-1}=\frac{2}{3}\times 4^{k-1}+\frac{1}{3}.$$故$$a_{2k}+a_{2k-1}=\frac{10}{3}\times 4^{k-1}+\frac{2}{3}(k\geqslant 1).$$代入题中的不等式，得$$\frac{2}{3}(5\times 4^{k-1}+1)\geqslant c\cdot \frac{2}{3} (5\times 4^k+1),$$即$$c\leqslant \frac{5\times 4^{k-1}+1}{5\times 4^k+1}=\frac{5\times 4^k+4}{4(5\times 4^k+1)}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{3}{5\times 4^k+1}\right).$$由上式对任意正整数 $k$ 成立，结合 $\lim_{k\to \infty}\frac{3}{5\times 4^k+1}=0$，知 $c$ 的最大可能值为 $\frac{1}{4}$．