若函数 $f(x)=\log_a\left(ax^2-x+\frac{1}{2}\right)$ 在 $[1,2]$ 上恒取正值，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
$\left(\frac{1}{2},\frac{5}{8}\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$
【解析】
当 $a>1$ 时，有$$ax^2-x+\frac{1}{2}>1\Leftrightarrow a>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}.$$再由 $\frac{1}{x}\in \left[\frac{1}{2},1\right]$，知 $a>\frac{3}{2}$．
当 $0<a<1$ 时，有$$0<ax^2-x+\frac{1}{2}<1\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}<a<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}$$再由 $\frac{1}{x}\in\left[\frac{1}{2},1\right]$，可得 $\frac{1}{2}<a<\frac{5}{8}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{8}\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty\right)$．
当 $0<a<1$ 时，有$$0<ax^2-x+\frac{1}{2}<1\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}<a<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{x}$$再由 $\frac{1}{x}\in\left[\frac{1}{2},1\right]$，可得 $\frac{1}{2}<a<\frac{5}{8}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{8}\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
