若关于 $x$ 的方程 $\left|\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}\right|=a$ 有 $4$ 个不同实根，且它们构成等差数列，则正实数 $a$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【解析】
易知$$\left|\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}\right|=\left\{\begin{aligned}
&|x|,|x|\leqslant 1;\\
&\frac{1}{|x|},|x|>1.\\
\end{aligned}\right.$$因此，$a\in(0,1)$，原方程的四个根为 $x=\pm a,\pm \frac{1}{a}$．注意到此时 $-\frac{1}{a}<-a<a<\frac{1}{a}$，故$$2a=-a+\frac{1}{a}\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$容易验证，$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 满足条件．
&|x|,|x|\leqslant 1;\\
&\frac{1}{|x|},|x|>1.\\
\end{aligned}\right.$$因此，$a\in(0,1)$，原方程的四个根为 $x=\pm a,\pm \frac{1}{a}$．注意到此时 $-\frac{1}{a}<-a<a<\frac{1}{a}$，故$$2a=-a+\frac{1}{a}\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$容易验证，$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 满足条件．
题目
答案
解析
备注
