已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交双曲线于 $A, B$ 两点，$C$ 是 $A$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点．若 $CF\perp AB, 2|AF|=|FB|$，则双曲线的离心率是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
$\frac{\sqrt{17}}{3}$
【解析】
设双曲线的左焦点为 $F'$，易知 $O$ 既是线段 $FF'$ 的中点，也是线段 $AC$ 的中点．于是
四边形 $FAF'C$ 是平行四边形．又 $CF\perp AB$，故四边形 $FAF'C$ 是矩形．
设 $|AF|=x$．于是，$Rt\triangle F'AB$ 的三边长都可以用 $a$ 和 $x$ 表示，分别为 $|AF'|=2a+x_1, |AB|=3x, |F'B|=2a+2x$．从而$$(2a+x)^2+(3x)^2=(2a+2x)^2\Rightarrow x=\frac{2}{3}a.$$因此，双曲线的离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{|FF'|}{2a}=\frac{\sqrt{|AF|^2+|AF'|^2}}{2a}=\frac{\sqrt{17}}{3}.$$
四边形 $FAF'C$ 是平行四边形．又 $CF\perp AB$，故四边形 $FAF'C$ 是矩形．
设 $|AF|=x$．于是，$Rt\triangle F'AB$ 的三边长都可以用 $a$ 和 $x$ 表示，分别为 $|AF'|=2a+x_1, |AB|=3x, |F'B|=2a+2x$．从而$$(2a+x)^2+(3x)^2=(2a+2x)^2\Rightarrow x=\frac{2}{3}a.$$因此，双曲线的离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{|FF'|}{2a}=\frac{\sqrt{|AF|^2+|AF'|^2}}{2a}=\frac{\sqrt{17}}{3}.$$
题目
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