现有 $2019$ 个盒子，编号依次为 $1,2,\ldots, 2019$，第 $k$（$1\leqslant k\leqslant 2019$）个盒子中恰有 $1$ 个红球和 $k$ 个白球，某人 $1$ 号盒子开始依次从每个盒子中随机取一个球，直至从某个盒子中取出红球．设取球结束时恰取出 $n$ 个球的概率为 $P(n)$，则使得 $P(n)<\frac{1}{2019}$ 的最小正整数 $n$ 是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
$45$
【解析】
若结束取球时恰取出 $n$ 个球，则从前 $n-1$ 个盒子中取出的都是白球，而从第 $n$ 个 盒子中取出的是红球．易知从第 $k$ 个盒子中取出白球的概率为 $\frac{k}{k+1}$，取出红球的概率为
$\frac{1}{k+1}$（$1\leqslant k\leqslant 2019$），并且从各个盒子中取球的事件相互独立，因此$$P(n)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\ldots \frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}.$$令 $\frac{1}{n(n+1)}\geqslant \frac{1}{2019}$，解得 $n\geqslant 45$，故所求的最小正整数 $n=45$．
$\frac{1}{k+1}$（$1\leqslant k\leqslant 2019$），并且从各个盒子中取球的事件相互独立，因此$$P(n)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\ldots \frac{n-1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}.$$令 $\frac{1}{n(n+1)}\geqslant \frac{1}{2019}$，解得 $n\geqslant 45$，故所求的最小正整数 $n=45$．
题目
答案
解析
备注
