若实数 $\alpha, \beta ,\gamma$ 满足 $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1, \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=1$，则 $\cos\alpha$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(24)
【标注】
【答案】
$\frac{-1-\sqrt{7}}{4}$
【解析】
设 $a= \cos \alpha + i\sin \alpha, b = \cos \beta + i\sin \beta, c = \cos \gamma + i\sin\gamma$，则 $a, b, c$ 都是复平面单位圆 上的复数，且
$a+b+c=1+i$．
于是$$|a-(1+i)| = |b+c|<|b| + |c|=2.$$这表明，复数 $a$ 在复平面上对应的点在以 $1 + i$ 对应的点 $P$ 为圆心、$2$ 为半径的圆 $\Gamma$ 内，如 图2所示．又 $A$ 在单位圆上，故当 $a$ 对应的复数是单位圆与 $\Gamma$ 的交点 $A$ 时，$\cos\alpha=Re(a)$．
最小．设 $\angle AOP = \delta$，则 $\triangle AOP$ 是三条边长分别为 $1, \sqrt{2}, 2$ 的三角形，由余弦定理得$$\cos \delta=\frac{1^2+(\sqrt{2})^2-2^2}{2\times 1\times \sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}.$$
$a+b+c=1+i$．
于是$$|a-(1+i)| = |b+c|<|b| + |c|=2.$$这表明，复数 $a$ 在复平面上对应的点在以 $1 + i$ 对应的点 $P$ 为圆心、$2$ 为半径的圆 $\Gamma$ 内，如 图2所示．又 $A$ 在单位圆上，故当 $a$ 对应的复数是单位圆与 $\Gamma$ 的交点 $A$ 时，$\cos\alpha=Re(a)$．
最小．设 $\angle AOP = \delta$，则 $\triangle AOP$ 是三条边长分别为 $1, \sqrt{2}, 2$ 的三角形，由余弦定理得$$\cos \delta=\frac{1^2+(\sqrt{2})^2-2^2}{2\times 1\times \sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}.$$
题目
答案
解析
备注
