已知 $f(x)=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)$，$g(x)=f(x)-\dfrac 13$，$x_1,x_2$ 是函数 $g(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的零点，则 $\cos\left(x_1-x_2\right)$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 13$
【解析】
设 $t_1=2x_1-\dfrac{\pi}3$，$t_2=2x_2-\dfrac{\pi}3$，则 $t_1,t_2$ 是关于 $t$ 的方程\[\sin t=\dfrac 13,\]在 $\left[-\dfrac{\pi}3,\dfrac{5\pi}3\right]$ 上的零点．注意到正弦函数的图象与性质，有 $t_1,t_2$ 关于 $t=\dfrac{\pi}2$ 对称，不妨设 $0<t_1<\dfrac{\pi}2<t_2<\pi$，此时\[\cos\left(x_1-x_2\right)=\cos\dfrac{t_1-t_2}2
=\cos\left(\dfrac{\pi}2-t_1\right)=\sin t_1=\dfrac 13.\]
=\cos\left(\dfrac{\pi}2-t_1\right)=\sin t_1=\dfrac 13.\]
题目
答案
解析
备注
