过直线 $l:x+y=2$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C: x^2+y^2=1$ 作两条切线，切点分别为 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $Q$．则 $Q$ 到直线 $l$ 的距离的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
全国高中数学联赛模拟试题(11)
【标注】
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}$
【解析】
如图所示，过点 $Q$，$O$ 分别作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $H,D$，则$$\frac{QH}{OD}=\frac{PQ}{PO}.$$
由直角三角形的射影定理知$$PQ\cdot PO=PB^2=PO^2-1,$$所以$$OH=\sqrt{2}\cdot \frac{PO^2-1}{PO^2}=\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{PO^2}\right).$$因为 $PO\in [\sqrt{2},+\infty)$，所以 $QH$ 的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$．
由直角三角形的射影定理知$$PQ\cdot PO=PB^2=PO^2-1,$$所以$$OH=\sqrt{2}\cdot \frac{PO^2-1}{PO^2}=\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{PO^2}\right).$$因为 $PO\in [\sqrt{2},+\infty)$，所以 $QH$ 的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$．
题目
答案
解析
备注
