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已知 $\triangle ABC$ 的三个角 $A,B,C$ 成等差数列，对应的三边为 $a,b,c$，且 $a,c,\dfrac{4}{\sqrt{3}}b$ 成等比例数列，则 $S_{\triangle ABC}^2:a^4=$  ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广东省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的定义与通项
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    正弦定理
【答案】
$0.75$
【解析】
因为 $A,B,C$ 成等差数列，$2B=A+C,3B=A+B+C=180^\circ$，因此 $B=60^\circ$．又因为 $a,c,\dfrac{4}{\sqrt{3}}b$ 成等比数列，所以 $c=qa,b=\dfrac{\sqrt{3}q^2a}{4}$．由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{\sqrt{3}q^2a}{4\sin 60^\circ}=\dfrac{qa}{\sin (120^\circ-A)}$，整理得 $\sin A=\dfrac{2}{q^2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos A=\dfrac{2}{q}-\dfrac{1}{q^2},(q-2)[3q^3+5q^2+4+(q-2)^2]=0$．所以 $q=2,\sin A=\dfrac{1}{2},A=30^\circ,C=90^\circ$，故 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$．所以 $S_{\triangle ABC}^2:a^4=\dfrac{3}{4}=0.75$．
题目 答案 解析 备注
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