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关于 $x$ 的方程 $3 \cdot {16^x} + 2 \cdot {81^x} = 5 \cdot {36^x}$ 的最大解为 $\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$  ．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    指数函数
    >
    幂的拓展与运算
【答案】
$3$
【解析】
解法一 根据题意，有$$3 \cdot {\left( {\dfrac{{16}}{{36}}} \right)^x} + 2 \cdot {\left( {\dfrac{{81}}{{36}}} \right)^x} = 5,$$即$$ 3 \cdot {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^x} + 2 \cdot {\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^x} = 5.$$设 ${\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^x} = t$，则$$3t + \dfrac{2}{t} = 5,$$解得 $t = 1$ 或 $t = \dfrac{2}{3}$．所以 $x = 0$ 或 $x = \dfrac{1}{2}$ 为所求．
解法二 方程即$$3\cdot\left(4^x\right)^2-5\cdot 4^x\cdot 9^x+2\cdot \left(9^x\right)^2=0,$$所以$$\left(3\cdot 4^x-2\cdot 9^x\right)\left(4^x-9^x\right)=0.$$因此$$3\cdot 4^x-2\cdot 9^x=0\lor 4^x-9^x=0,$$所以$$x=\dfrac 12\lor x=0.$$
题目 答案 解析 备注
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