已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$，${F_1},{F_2}$ 为其左右焦点，$P$ 为椭圆 $C$ 上一点，$I$ 为 $\triangle P{F_1}{F_2}$ 的内切圆圆心，$\triangle P{F_1}{F_2}$ 的重心 $G$ 满足 $\overrightarrow {P{F_1}}+ \overrightarrow {P{F_2}}= 3\overrightarrow {PG} $，且存在非零实数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow {GI}= \lambda \overrightarrow {{F_1}{F_2}}$，椭圆的离心率是 $e$，则 $[100e]=$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
【答案】
$50$
【解析】
如图．
因为 $\overrightarrow {GI}= \lambda \overrightarrow {{F_1}{F_2}} $，所以 ${y_G} = {y_I}$，而 $G$ 是 $\triangle P{F_1}{F_2}$ 的重心，所以$${y_G} = \dfrac{1}{3}{y_P} = r,$$而内切圆半径$$r = \dfrac{{2{S_{\triangle P{F_1}{F_2}}}}}{{P{F_1} + P{F_2} + {F_1}{F_2}}}= \dfrac{{2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {F_1}{F_2} \cdot {y_P}}}{{2a + 2c}} = \dfrac{c}{{a + c}} \cdot {y_P},$$因此 $\dfrac{1}{3}{y_P} = \dfrac{c}{{a + c}} \cdot {y_P}$，所以 $\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$．
因为 $\overrightarrow {GI}= \lambda \overrightarrow {{F_1}{F_2}} $，所以 ${y_G} = {y_I}$，而 $G$ 是 $\triangle P{F_1}{F_2}$ 的重心，所以$${y_G} = \dfrac{1}{3}{y_P} = r,$$而内切圆半径$$r = \dfrac{{2{S_{\triangle P{F_1}{F_2}}}}}{{P{F_1} + P{F_2} + {F_1}{F_2}}}= \dfrac{{2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot {F_1}{F_2} \cdot {y_P}}}{{2a + 2c}} = \dfrac{c}{{a + c}} \cdot {y_P},$$因此 $\dfrac{1}{3}{y_P} = \dfrac{c}{{a + c}} \cdot {y_P}$，所以 $\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
