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设函数 $f\left( x \right)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}$ 上的奇函数，且对任意的 ${x_1}, {x_2} \in \left[ {1 ,a} \right]$，当 ${x_2} > {x_1}$ 时，总有 $f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right) > 0$，则下列不等式一定成立的是 （写出所有真命题的代号，从小到大排列）．
1．$f\left( a \right) > f\left( 0 \right)$；
2．$f\left( {\dfrac{{1 + a}}{2}} \right) > f\left( {\sqrt a } \right)$；
3．$f\left( {\dfrac{1 - 3a}{1 + a}}\right) > f\left(-3\right)$；
4．$f\left( {\dfrac{1 - 3a}{1 + a}}\right) > f\left(- a\right)$．
【难度】
【出处】
2011年南京理工大学自主招生暨保送生考试数学试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
【答案】
$124$
【解析】
由题意知 $f(x)$ 在 $[1,a]$ 上单调递增，且 $f(1)>0$．
因为 $f\left( 0 \right) = 0$，所以 1 正确；
因为 $a > 1$ 时，有\[\dfrac{{1 + a}}{2} > \sqrt a ,\]所以 2 正确；
因为 $f\left( x \right)$ 是奇函数，所以\[f\left({\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right)> f\left({ - 3} \right),\]也即\[f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( 3 \right),\]虽然\[1<\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}} < 3 ,\]但 $a$ 与 $3$ 的大小关系不确定，所以 4 不正确；
因为 $ f\left( x \right) $ 是奇函数，所以\[ f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right) ,\]即\[f\left( {\dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}} \right) < f\left( a \right),\]而$$ \dfrac{{3a - 1}}{{a + 1}}-1=\dfrac {2(a-1)}{a+1}>0,\dfrac {3a-1}{a+1}-a=-\dfrac {(a-1)^2}{a+1}<0,$$所以\[1<\dfrac {3a-1}{a+1}<a,\]所以 5 正确．
题目 答案 解析 备注
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