函数 $y = \dfrac{{{{\sec }^2}x - \tan x}}{{{{\sec }^2}x + \tan x}}$ 的值域为 $[m, M]$，则 $\frac{M}{m}=$ ．
【难度】
【出处】
2002年上海交通大学保送生连读班考试
【标注】
【答案】
$9$
【解析】
先化简函数，得\[y = \dfrac{{{{\sec }^2}x - \tan x}}{{{{\sec }^2}x + \tan x}}= \dfrac{{1 - \sin x\cos x}}{{1 + \sin x\cos x}} = - 1 + \dfrac{2}{{1 + \dfrac{1}{2}\sin 2x}},\]其中 $x \ne k{\mathrm{\pi }} + \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$．
因为$$ - 1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1,$$所以$$\dfrac{1}{2} \leqslant 1 + \dfrac{1}{2}\sin 2x \leqslant \dfrac{3}{2},\dfrac{1}{3} \leqslant - 1 + \dfrac{2}{{1 + \dfrac{1}{2}\sin 2x}} \leqslant 3.$$所以函数的值域为 $\left[ {\dfrac{1}{3},3} \right]$．$\frac{M}{m}=9$．
因为$$ - 1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1,$$所以$$\dfrac{1}{2} \leqslant 1 + \dfrac{1}{2}\sin 2x \leqslant \dfrac{3}{2},\dfrac{1}{3} \leqslant - 1 + \dfrac{2}{{1 + \dfrac{1}{2}\sin 2x}} \leqslant 3.$$所以函数的值域为 $\left[ {\dfrac{1}{3},3} \right]$．$\frac{M}{m}=9$．
题目
答案
解析
备注
