根据已知，$f(x)$ 的导函数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$．由于函数 $f(x)$ 在 $O$ 处取得极值，于是$$f(0)=f'(0)=0,$$即 $c=d=0$，因此$$f(x)=ax^3+bx^2.$$且由于 $A$ 必然位于第一象限，因此 $a<0$．曲线 $y=f(x)$ 的切线的斜率的最大值，即 $f'(x)$ 的最大值，为$$\max (k)=-\dfrac{b^2}{3a},$$因此接下来的任务是建立 $\max (k)$ 与 $A$ 点的联系．不难求得 $A$ 点的坐标为 $\left(-\dfrac {2b}{3a},\dfrac{4b^3}{27a^2}\right)$，因此直线 $OA$ 的斜率$$k_{OA}=-\dfrac{2b^2}{9a}=\dfrac 23\max (k),$$于是求只要求出 $k_{OA}$ 的最大值即可．由于 $A$ 在曲线 $y=x^2\sin x+x\cos x$（$x\in\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{2{\pi}}3\right]$）上，设 $A$ 的横坐标为 $x$，则$$k_{OA}=g(x)=x\sin x+\cos x,$$其导函数$$g'(x)=x\cos x,$$于是当 $x=\dfrac{\pi}2$ 时，$k_{OA}$ 取得最大值为 $g\left(\dfrac{\pi}2\right)=\dfrac{\pi}2$，进而可知所求的最大值为 $\dfrac{3\pi}4$．