若实数 $x,\alpha,\beta$ 满足 $x=\log_3{\tan \alpha}=-\log_3{\tan \beta}$，且 $\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{6}$，则 $[5x]=$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
记 $\tan \alpha =y$．因为 $x=\log_3{\tan \alpha}=-\log_3{\tan \beta}$，所以$$\tan \beta=\dfrac 1y.$$因为 $\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{6}$，所以$$\tan \beta =\tan \left(\alpha -\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{y-\dfrac 1{\sqrt 3}}{1+\dfrac y{\sqrt 3}},$$从而得方程$$\dfrac 1y =\dfrac{y-\dfrac 1{\sqrt 3}}{1+\dfrac y{\sqrt 3}},$$取其正根，得 $y=\sqrt 3$，因此 $x=\log_3 y=\dfrac 12 $．
题目
答案
解析
备注
