在平面直角坐标系中，圆 $C_1:(x+1)^2+(y-6)^2=25$，圆 $C_2:(x-17)^2+(y-30)^2=r^2$．若 $C_2$ 上存在一点 $P$ 可作一条射线与 $C_1$ 依次交于点 $A,B$，满足 $|PA|=2|AB|$，半径 $r$ 的取值范围是 $[m, M]$，则 $m+M=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$60$
【解析】
对任意一点 $P$，考虑条件的含义．
若点 $P$ 在圆 $C_1$ 的内部（含圆上时），一定无法作出满足条件的射线；
若点 $P$ 在圆外时，当射线与圆相切时，一定有 $|PA|>2|AB|$，所以只需要存在一条射线使得 $|PA|\leqslant 2|AB|$，则点 $P$ 满足要求．当射线过圆 $C_1$ 的圆心时，$|PA|$ 有最小值 $|PC_1|-r$，$|AB|$ 有最大值 $2r$，当 $|PC_1|-r\leqslant 4r$，即 $|PC_1|\leqslant 5r=25$ 时满足条件．
所以 $P$ 点的轨迹是以 $C_1$ 的圆心为圆心，内外半径分别为 $5$（不含）和 $25$（含）的圆环．而 $|CC_1|=30$，所以 $r\in[5,55]$．
若点 $P$ 在圆 $C_1$ 的内部（含圆上时），一定无法作出满足条件的射线；
若点 $P$ 在圆外时，当射线与圆相切时，一定有 $|PA|>2|AB|$，所以只需要存在一条射线使得 $|PA|\leqslant 2|AB|$，则点 $P$ 满足要求．当射线过圆 $C_1$ 的圆心时，$|PA|$ 有最小值 $|PC_1|-r$，$|AB|$ 有最大值 $2r$，当 $|PC_1|-r\leqslant 4r$，即 $|PC_1|\leqslant 5r=25$ 时满足条件．
所以 $P$ 点的轨迹是以 $C_1$ 的圆心为圆心，内外半径分别为 $5$（不含）和 $25$（含）的圆环．而 $|CC_1|=30$，所以 $r\in[5,55]$．
题目
答案
解析
备注
