数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为\[a_n=\begin{cases}
2,&n=1,\\
-\dfrac{3^{n-2}}{4^{n-1}},&n\geqslant 2,
\end{cases}\]数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=9a_n^2+4a_{n+1}$，数列 $\left\{b_n\right\}$ 中的最小值为 $\frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 是互质的整数，则 $pq=$ ．
2,&n=1,\\
-\dfrac{3^{n-2}}{4^{n-1}},&n\geqslant 2,
\end{cases}\]数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=9a_n^2+4a_{n+1}$，数列 $\left\{b_n\right\}$ 中的最小值为 $\frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 是互质的整数，则 $pq=$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-16128$
【解析】
由题意，有\[
b_n=\begin{cases}
35,&n=1,\\
\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2n-2}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1},&n\geqslant 2.
\end{cases}\]令 $t=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}$，$n \geqslant 2$，可知当且仅当 $n=3$ 且 $t=\dfrac{9}{16}$ 时，$b_n$ 取到最小值 $-\dfrac{63}{256}$．
b_n=\begin{cases}
35,&n=1,\\
\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2n-2}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1},&n\geqslant 2.
\end{cases}\]令 $t=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}$，$n \geqslant 2$，可知当且仅当 $n=3$ 且 $t=\dfrac{9}{16}$ 时，$b_n$ 取到最小值 $-\dfrac{63}{256}$．
题目
答案
解析
备注
