已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=32$，$a_{n+1}-a_{n}=2n(n\in\mathbb N^{*})$，$\dfrac{a_{n}}{n}$ 的最小值为 $m$，则 $[m]=$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
累加可得\[a_n=n^2-n+32,\]于是\[\dfrac{a_n}{n}=n-1+\dfrac{32}{n},\]于是 $\{a_n\}$ 的单调性在 $\sqrt{32}$ 附近发生变化．\[\begin{array} {c|cccc}\hline
n&\leqslant 4&5&6&\geqslant 7\\ \hline
\dfrac{a_n}n&\searrow&\dfrac{52}5&\dfrac{31}3&\nearrow\\ \hline\end{array}\]于是 $\dfrac{a_n}{n}$ 的最小值为 $\dfrac{31}3$．
n&\leqslant 4&5&6&\geqslant 7\\ \hline
\dfrac{a_n}n&\searrow&\dfrac{52}5&\dfrac{31}3&\nearrow\\ \hline\end{array}\]于是 $\dfrac{a_n}{n}$ 的最小值为 $\dfrac{31}3$．
题目
答案
解析
备注
