将正整数 $1,2,3,4,5,6,7$ 任意分成两组，使每组至少有一个数，则第一组数的和与第二组数的和相等的概率是 $\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，$p+q=$ ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$67$
【解析】
先求样本空间，总分组的方法有 $2^6-1=63$ 种；
再求事件空间，所有数的和为 $28$，于是每组包含的数之和应为 $14$，对于 $1$ 所在的组，除开 $1$ 之外其余各数的和为 $13$．
采用列举法：$$\{2,4,7\},\{2,5,6\},\{3,4,6\},\{6,7\}.$$因此所求概率为 $\dfrac {4}{63}$．
再求事件空间，所有数的和为 $28$，于是每组包含的数之和应为 $14$，对于 $1$ 所在的组，除开 $1$ 之外其余各数的和为 $13$．
采用列举法：$$\{2,4,7\},\{2,5,6\},\{3,4,6\},\{6,7\}.$$因此所求概率为 $\dfrac {4}{63}$．
题目
答案
解析
备注
