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圆锥的轴截面 $SAB$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$O$ 为底面中心，$M$ 为 $SO$ 的中点，动点 $P$ 在圆锥底面内（包括圆周）．若 $AM \perp MP$，点 $P$ 形成的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$，其中 $m, n$ 是正整数且 $m$ 不含平方因子，则 $m+n=$  ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    空间的垂直关系
    >
    线面垂直
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    圆的垂径定理
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    轨迹问题
【答案】
$9$
【解析】
根据题意，$OS=\sqrt 3$，点 $P$ 形成的轨迹是过 $M$ 与 $AM$ 垂直的平面被圆锥底面所截的弦．设该弦与 $AB$ 的公共点为 $N$，则根据射影定理，有\[OM^2=ON\cdot OA,\]因此\[ON=\dfrac{OM^2}{OA}=\dfrac{OS^2}{4\cdot OA}=\dfrac 34,\]从而所求弦长为\[2\cdot \sqrt{OA^2-ON^2}=\dfrac{\sqrt 7}2.\]
题目 答案 解析 备注
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