设 $[m]$ 表示不超过 $m$ 的最大整数，则集合 $\{x\in \mathbb R\mid 9x^2-30[x]+20=0\}$ 中所有元素的和的平方为 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
由$$9x^2-30[x]+20=0,$$得$$30[x]=9x^2+20>0,$$则 $[x]>0$，从而 $x>0$．
因为 $[x]\leqslant x$，所以$$[x]^2 \leqslant x^2,$$所以$$9[x]^2-30[x]+20\leqslant 0,$$即$$(3[x]-5)^2 \leqslant 5,$$所以 $[x]=1$ 或 $[x]=2$．分别代入原方程，得$$x_1=\dfrac {\sqrt {10}}{3} , x_2=\dfrac {2\sqrt {10}}{3}.$$故集合 $\{x\in \mathbb R\mid 9x^2-30[x]+20=0\}$ 中所有元素的和为$$x_1+x_2= \sqrt {10} .$$
因为 $[x]\leqslant x$，所以$$[x]^2 \leqslant x^2,$$所以$$9[x]^2-30[x]+20\leqslant 0,$$即$$(3[x]-5)^2 \leqslant 5,$$所以 $[x]=1$ 或 $[x]=2$．分别代入原方程，得$$x_1=\dfrac {\sqrt {10}}{3} , x_2=\dfrac {2\sqrt {10}}{3}.$$故集合 $\{x\in \mathbb R\mid 9x^2-30[x]+20=0\}$ 中所有元素的和为$$x_1+x_2= \sqrt {10} .$$
题目
答案
解析
备注
