已知点 $P$ 在曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 上，点 $Q$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，则 $|PQ|^2$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
因曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 与 $y=\ln x$ 关于直线 $y=x$ 对称，所以所求 $|PQ|$ 的最小值为曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 上的点到直线 $y=x$ 最小距离的两倍．设 $P(x,\mathrm{e}^x)$ 为 $y=\mathrm{e}^x$ 上任意点，则 $P$ 到直线 $y=x$ 的距离$$d(x)=\dfrac{|\mathrm{e}^x-x|}{\sqrt2}=\dfrac{\mathrm{e}^x-x}{\sqrt2},$$求导得$$d'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\sqrt2},$$因此，当 $x>0$ 时，$d'(x)>0$，$d(x)$ 单调递增；当 $x<0$ 时，$d'(x)<0$，$d(x)$ 单调递减．因此 $d(x)$ 的最小值为$$d(0)=\dfrac{\sqrt2}{2},$$进而 $|PQ|$ 的最小值为 $\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
