设函数 $f'(x)$ 是偶函数 $f(x)(x\ne 0)$ 的导函数，$f(-1)=0$．当 $x>0$ 时，$xf'(x)-f(x)<0$，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围中区间长度之和为 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛广东省预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
注意到核心条件：当 $x>0$ 时，$xf'(x)-f(x)<0$，即$$x^2\cdot\left(x^{-1}\cdot f(x)\right)'<0,$$于是可设辅助函数$$g(x)=x^{-1}\cdot f(x),x\neq 0.$$根据题意，该函数为偶函数，$g(-1)=0$，且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，如图．
不等式 $f(x)>0$，即$$x\cdot g(x)>0,$$因此解集为 $(-\infty,-1)\cup (0,1)$．
不等式 $f(x)>0$，即$$x\cdot g(x)>0,$$因此解集为 $(-\infty,-1)\cup (0,1)$．
题目
答案
解析
备注
