从 $m$ 个男生和 $n$ 个女生（$10\geqslant m>n\geqslant 4$）中任选 $2$ 个人当班长，假设事件 $A$ 表示选出的 $2$ 个人性别相同，事件 $B$ 表示选出的 $2$ 个人性别不同．如果 $A$ 的概率和 $B$ 的概率相同，则 $m+2n=$ ．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$22$
【解析】
由题意得\[P(A)=\dfrac{{\rm C}_{m}^{2}+{\rm C}_{n}^{2}}{{\rm C}_{m+n}^{2}}, P(B)=\dfrac{{\rm C}_{m}^{1}{\rm C}_{n}^{1}}{{\rm C}_{m+n}^{2}}.\]因为 $P(A)=P(B)$，所以\[(m-n)^{2}=m+n,\]即因为 $m+n$ 是完全平方数．
又因为 $10\geqslant m>n\geqslant 4$，所以只能有$$\begin{cases}m+n=16,\\ m-n=4,\end{cases}$$解得 $(m,n)=(10,6)$．
又因为 $10\geqslant m>n\geqslant 4$，所以只能有$$\begin{cases}m+n=16,\\ m-n=4,\end{cases}$$解得 $(m,n)=(10,6)$．
题目
答案
解析
备注
