设 $F_{1},F_{2}$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a,b>0)$ 的左、右焦点，若双曲线右支存在一点 $P$，使得 $\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_{2}}\right)\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=0$，其中 $O$ 为坐标原点，且 $\left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|=\sqrt 3\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right|$，则 $[10e]=$ ，其中 $e$ 为双曲线的离心率，$[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$27$
【解析】
因为\[\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_{2}}\right)\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=0,\]所以$$|\overrightarrow{OF_2}|=|\overrightarrow{OP}|=c,$$从而 $\triangle PF_1F_2$ 为直角三角形．又因为$$\left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|=\sqrt 3\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right| , \left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|-\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right|=2a,$$所以\[\left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|=(\sqrt 3+3)a,\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right|=(\sqrt 3+1)a.\]根据勾股定理得$$(\sqrt 3+1)^2a^2+(\sqrt 3+3)^2a^2=4c^2,$$解得离心率\[e=\dfrac ca=\sqrt 3+1.\]
题目
答案
解析
备注
