对于 $n\in \mathbb N^{\ast}$，若 $n\cdot 2^n+1$ 是 $3$ 的整数倍，则 $n$ 被 $6$ 除所得余数构成的集合中元素之和是 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
根据题意，有$$n\cdot 2^n+1\equiv (-1)^n\cdot n+1\pmod 3,$$讨论如下：\[\begin{matrix}
n\pmod 6 & (-1)^n+1 \pmod 3\\ \hline
0&1\\
1&0\\
2&0\\
3&1\\
4&2\\
5&2\\ \hline
\end{matrix}\]因此，当且仅当 $n=6k+1$ 或 $n=6k+2$（$k\in \mathbb N$）时，符合题意．
n\pmod 6 & (-1)^n+1 \pmod 3\\ \hline
0&1\\
1&0\\
2&0\\
3&1\\
4&2\\
5&2\\ \hline
\end{matrix}\]因此，当且仅当 $n=6k+1$ 或 $n=6k+2$（$k\in \mathbb N$）时，符合题意．
题目
答案
解析
备注
