设 $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb R$，且 $\dfrac{1}{2+\sin\alpha_1}+\dfrac{1}{2+\sin(2\alpha_2)}=2$，$\left|10\pi-\alpha_1-\alpha_2\right|$ 的最小值等于 $\frac{m}{n}\pi$，其中 $m, n$ 是互质的正整数，则 $m+n=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
由于\[\dfrac{1}{2+\sin x}\leqslant \dfrac{1}{2-1}=1,\]等号当且仅当 $\sin x=-1$ 时取得，因此根据题意，有\[\sin\alpha_1=\sin(2\alpha_2)=-1,\]因此 $\alpha_1=-\dfrac{\pi}2+2k_1\pi$，$\alpha_2=-\dfrac{\pi}4+k_2\pi$，其中 $k_1,k_2\in\mathbb Z$．进而\[\left|10\pi-\alpha_1-\alpha_2\right|=\left|10+\dfrac 12-2k_1+\dfrac14+k_2\right|\cdot\pi\geqslant \dfrac {\pi}4,\]当 $k_1=5$，$k_2=-1$ 时等号成立．因此所求的最小值为 $\dfrac {\pi}4$．
题目
答案
解析
备注
