若实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a+2b+3c=6$，$a^2+4b^2+9c^2=12$，则 $3abc=$ ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
由题设和柯西不等式得$$\begin{split}36&=(a+2b+3c)^2 \\ &\leqslant (1^2+1^2+1^2)(a^2+4b^2+9c^2)\\ &=36,\end{split}$$当且仅当 $a=2b=3c=\dfrac 63$，即$$a=2,b=1,c=\dfrac 32$$时，上式等号成立．故 $abc=\dfrac 43$．
题目
答案
解析
备注
