若 $16^{\sin^2x}+16^{\cos^2x}=10$，则 $\cos4x=$ （用小数表示）．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$-0.5$
【解析】
设 $t=16^{\sin^2x}$，则 $1\leqslant t\leqslant16$，且$$16^{\cos^2x}=16^{1-\sin^2x}=\dfrac{16}{t},$$代入方程得$$t+\dfrac{16}{t}=10,$$解得 $t=2$ 或 $t=8$，所以$$\sin^2x=\dfrac14\lor \sin^2x=\dfrac34,$$故$$\begin{split}\cos4x&=2\cos^22x-1\\&=2(1-2\sin^2x)^2-1\\&=-\dfrac12.\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
