若实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a+2b+3c=6$，$a^2+4b^2+9c^2=12$，则 $3abc=$ ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
由题设得$$ a+2b= 6-3c,a^2+4b^2=12-9c^2.$$因为$$\left(\dfrac {a+2b}{2}\right)^2 \leqslant \dfrac {a^2+4b^2}{2},$$所以$$\left(\dfrac {6-3c}{2}\right)^2 \leqslant \dfrac {12-9c^2}{2},$$即$$(3c-2)^2 \leqslant 0,$$故 $c=\dfrac 23$，从而$$a+2b=4,a^2+4b^2=8.$$又$$8=a^2+4b^2=(a+2b)^2-4ab=16-4ab,$$所以 $ab=2$，故 $abc=\dfrac 43$．
题目
答案
解析
备注
